Производная высшей силы
Производная от высшей силы
Пояснение
Подстановка f (x) = xn в определение производной дает
Для (x + Δx)n используем биномиальное развитие, тогда получим
Мы пишем только первые два члена бинома, так как все последующие члены содержат высшие экспоненты Δx, которыми можно пренебречь, и которые отпадают в пределе. Поэтому
Эта формула справедлива для любого целого числа, ломаной и отрицательной экспоненты.
Пример 1
Первая производная функции f (x) = x4 − 6x3 + 12x2 − 8x + 1 имеет вид
f ′(x) = 4x3 − 18x2 + 24x − 8
Вторая производная имеет вид
f ′′(x) = 12x2 − 36x + 24
Третья производная
f ′′′(x) = 24x − 36